摘要

本文由University College London的Romy Williamson和Niloy J. Mitra共同撰写，提出了一种基于球面神经表面的新型几何处理方法。该方法通过将输入的零亏格（genus-0）表面编码为过拟合的神经网络，并在此基础上定义了一系列几何操作符，如几何雅可比矩阵、第一和第二基本形式，从而计算曲率。此外，文章还定义了一个直接使用神经表示的Laplace-Beltrami算子，使得能够在表面上的标量（或向量）场上进行处理和光谱分析，避免了传统表面表示（如多边形网格）中常见的非必要离散化。

原理

球面神经表面（SNS）是一种将连续表面表示为多层感知器（MLP）的方法，通过训练使得MLP在单位球面上的限制成为给定表面的连续参数化。文章详细介绍了如何直接在SNS上计算核心几何操作符，包括表面法线、第一和第二基本形式、曲率、连续Laplace-Beltrami算子及其最小光谱模式，而无需任何不必要的离散化。这一方法利用了现代机器学习框架中的自动微分功能，通过代数追踪变量变化，实现了对连续微分几何量的直接计算。

流程

文章首先介绍了如何将一个零亏格的三角网格表面嵌入到单位球面上，并通过投影和重心坐标将其扩展为连续嵌入。然后，通过最小化地面实况与预测表面位置之间的均方误差（MSE）来过拟合网络。此外，还引入了一个正则化项，以鼓励从球面映射导出的法线与网格上的法线对齐。在计算微分量时，文章展示了如何利用自动微分功能直接计算表面法线、切平面和基本形式，从而避免了离散化误差。

应用

该论文提出的球面神经表面及其相关操作符为神经几何处理提供了一个新的工具，展示了在光谱分析、热流和平均曲率流等应用中的潜力。由于避免了不必要的离散化，该方法在不同的网格采样和连接性下表现出鲁棒性和一致性。未来，该方法可以扩展到更高亏格的表面，以及从其他神经表示（如占用场或辐射场）中生成SNS，为动态表面的端到端优化提供新的方向。