摘要

本文介绍了一种新颖的深度学习方法，旨在通过引入残差网络架构来提高解决偏微分方程（PDEs）的稳定性和效率。传统的神经网络在处理非线性和时间依赖的PDEs时面临稳定性和效率的挑战。为此，本文提出了一种基于残差的网络架构，包括简单高速公路网络（Simple Highway Network）和平方残差网络（Squared Residual Network），这些架构通过引入残差连接来增强传统神经网络的稳定性和反向传播效率。通过广泛的数值实验，本文展示了这些新架构在处理线性和非线性、时间依赖和独立PDEs时的有效性，特别是在平方残差网络中观察到了更高的稳定性和准确性。这些发现强调了残差网络架构在推进深度学习应用于PDEs和计算物理学领域的潜力。

原理

本文提出的简单高速公路网络和平方残差网络通过引入残差连接来改进传统神经网络的性能。残差连接允许信息直接在网络层之间传递，从而改善了梯度流动，使得可以训练更深的网络。简单高速公路网络通过在网络中添加残差项来实现这一点，而平方残差网络则进一步通过元素级别的平方操作来增强这一效果。这些改进使得网络在更新权重时更加平滑和高效，从而提高了训练的稳定性和准确性。

流程

在实际应用中，本文使用DeepXDE包来实现和测试这些网络架构。实验设置包括使用PyTorch作为后端，并设置随机种子以确保结果的可重复性。优化过程采用L-BFGS优化器，通过多次迭代来最小化损失函数。网络的每一层包含固定数量的神经元，并使用tanh作为激活函数。通过这种方式，本文展示了如何通过调整网络架构和优化算法来提高解决PDEs的性能。

应用

本文提出的残差网络架构不仅适用于函数逼近问题，还广泛应用于各种PDEs的求解，包括时间依赖和独立、线性和非线性的情况。平方残差网络的稳定性和准确性提升使其成为推进深度学习在PDEs和计算物理学领域应用的有力工具。未来，这些方法有望在更复杂的物理系统和工程问题中得到应用，进一步推动科学计算和机器学习的融合。