摘要

本文提出了一种新的表面几何特征表示方法——神经变量表示（neural varifold representation），用于量化点云的几何特性。点云作为一种流行的三维表示方法，广泛应用于LiDAR和Kinect等现实场景中，因其能够详细且紧凑地表示基于表面的几何形状。传统的点云几何特征表示方法通常结合深度学习技术和几何保真度度量，如最优传输成本（例如Chamfer和Wasserstein度量）。本文的创新之处在于，通过将表面表示为点云位置和切线空间的度量/分布，神经变量表示不仅能够通过基于流形的判别来量化点云的表面几何形状，还能捕捉表面上的细微几何一致性。此外，本文还提出了两种算法，利用点云上的神经网络及其神经切线核表示来计算两个点云之间的变量范数。实验结果表明，所提出的神经变量表示在形状匹配、少样本形状分类和形状重建等任务中，与现有最先进方法相比，表现出了优越的性能。

原理

神经变量表示的核心在于将三维点云的表面几何特征表示为点云位置和切线空间的度量或分布。这种表示方法通过结合位置和切线空间的信息，能够更精确地描述点云的宏观几何特征和表面上的细微几何一致性。具体来说，神经变量表示通过计算点云的神经切线核（NTK）来量化两个点云之间的几何差异。NTK是一种在无限宽神经网络中使用的核函数，能够有效地捕捉点云之间的复杂关系。通过将NTK应用于点云的位置和切线空间特征，神经变量表示能够生成一个高维的特征空间，其中点云之间的相似性可以通过计算在该空间中的距离来衡量。这种基于核的方法不仅保留了点云的几何信息，还能够处理点云中不规则和非平滑的特性，从而在形状匹配和分类等任务中展现出优越的性能。

流程

神经变量表示的工作流程主要包括以下几个步骤：

1. 数据预处理：从三维模型中提取点云数据，并计算每个点的切线空间信息。
2. 特征提取：使用神经网络（如PointNet）提取点云的特征，并将这些特征与切线空间信息结合，形成高维的特征表示。
3. 核计算：计算点云特征的神经切线核（NTK），这一步骤涉及将点云特征映射到一个高维的核空间。
4. 相似性度量：利用NTK计算两个点云之间的相似性度量，这一度量可以用于形状匹配、分类或重建等任务。
5. 任务应用：根据具体的应用场景（如形状匹配、少样本分类或形状重建），使用计算得到的相似性度量来进行相应的处理和决策。

例如，在形状匹配任务中，通过计算两个点云之间的NTK距离，可以确定它们在几何上的相似程度，从而实现形状的对齐或匹配。

应用

神经变量表示在三维计算机视觉和图形学领域具有广泛的应用前景。具体包括：

• 形状匹配：通过量化点云之间的几何相似性，实现精确的形状对齐和匹配。
• 少样本学习：在数据有限的情况下，利用神经变量表示进行高效的形状分类。
• 形状重建：从稀疏的点云数据中重建完整的三维模型，适用于逆向工程和虚拟现实等领域。
• 机器人导航：在自主驾驶和机器人导航中，利用点云的神经变量表示进行环境感知和路径规划。
• 增强现实：在增强现实应用中，通过精确的点云匹配和重建，实现更真实的虚拟物体叠加。

随着深度学习和三维数据处理技术的进一步发展，神经变量表示有望在更多领域展现出其强大的应用潜力。