摘要

本文介绍了一种名为3DMeshNet的新型三维结构化网格生成方法，该方法通过将网格生成相关的微分方程嵌入到神经网络的损失函数中，将网格生成任务转化为无监督优化问题。3DMeshNet以几何点为输入，学习参数域和计算域之间的潜在映射，经过适当的离线训练后，能够通过前馈神经预测高效输出用户定义数量的四边形/六面体单元组成的三维结构化网格。实验结果显示，3DMeshNet在不同案例中表现稳健且快速，优于基于神经网络的方法，并生成比传统网格划分方法更优质的网格，显著减少了与其他基于神经网络的方法相比的训练时间，并降低了相对于传统网格生成方法的网格生成开销。

原理

3DMeshNet的核心在于利用神经网络嵌入三维椭圆偏微分方程（PDEs）来学习三维网格划分的规则。具体来说，设计了一个精心构建的神经网络来近似参数域和计算域之间的潜在映射。三维椭圆PDEs和表面拟合项被嵌入到损失函数中，作为惩罚项来指导网络参数的优化。经过适当训练后，3DMeshNet能够通过前向传播为相应的几何形状生成任意指定大小的网格。为了减少训练时间、提高表面拟合准确性和增强模型收敛稳定性，采用了有限差分（FD）方法、损失函数重加权和梯度投影来从三个方面改进模型。有限差分方法通过高效计算导数来降低计算成本并加速训练。损失函数重加权通过多任务学习策略和表面点加权方案来调整损失项，增强了表面表示。梯度投影有效地协调了来自不同损失项的梯度。

流程

3DMeshNet的工作流程包括以下几个关键步骤：首先，网络接收来自参数域内部和表面的点样本作为输入。每个输入包含一组三维点。网络的输出则是计算域中的点，代表网格。神经网络部分包含输入层、多个隐藏层和输出层。输入层接收训练点并传递给隐藏层。在隐藏层中，网络通过方程进行计算以提取高维特征。随后，输出层根据接收到的隐藏表示产生计算域坐标预测。在物理信息学习部分，使用椭圆控制方程来指导神经网络的学习，边界条件描述了给定三维对象的表面拟合。在有限差分层中，3DMeshNet应用基于泰勒级数展开的有限差分方法，以提高导数计算的效率。损失函数通过损失函数重加权来确定，该重加权由三维椭圆方程和表面拟合指导。损失函数重加权采用多任务学习策略和表面点加权方案来重新加权两部分损失。多任务学习策略利用贝叶斯推理中的同方差不确定性原理根据任务特定的不确定性调整权重。表面点加权方案引入表面点加权方案，根据预测表面点与实际表面点之间的欧几里得距离分配权重，从而增强边界网格质量。此外，梯度投影有效地缓解了椭圆方程梯度和表面拟合梯度之间的梯度冲突。最后，网络参数通过损失反向传播在训练会话中更新。

应用

3DMeshNet在数值模拟中具有广泛的应用前景，特别是在需要精确元素对齐以实现高效率和高精度的模拟中。由于其能够快速生成高质量的网格，3DMeshNet可以显著提高工程模拟的效率和准确性。此外，该方法的通用性和高效性使其适用于各种复杂的工程和科学计算问题，特别是在需要三维结构化网格的领域。