摘要

本文介绍了一种创新的方法，通过将大型矩阵对角化问题构建成半马尔可夫决策过程（Semi-Markov Decision Process）和小型矩阵对角化问题构建成马尔可夫决策过程（Markov Decision Process），来加速Jacobi方法进行矩阵对角化。此外，本文还探讨了在不同大小矩阵之间利用可扩展架构的潜力。在短暂的训练期间，该方法显著减少了对角化所需的步骤数，并展示了高效的推理能力。重要的是，这种方法显示出对大型矩阵的可扩展性，表明其广泛应用的潜力。训练完成后，我们获得了动作-状态概率和状态转移图，这些输出不仅提供了对角化过程的洞察，还为大规模矩阵对角化节省了成本。这项研究在矩阵对角化的效率和可扩展性方面取得了进展，为科学和工程领域的实际应用开辟了新的可能性。

原理

本文通过结合强化学习（Reinforcement Learning）和图同构网络（Graph Isomorphic Network, GIN）来改进Jacobi对角化算法的启发式方法。具体来说，将Jacobi算法转化为马尔可夫和半马尔可夫决策过程，利用蒙特卡洛树搜索（Monte Carlo Tree Search, MCTS）和GIN来发现更快的解路径。GIN能够学习紧凑的图抽象，展示了转移学习的潜力。通过这些方法，论文展示了在Jacobi特征值问题中发现的加速路径，并讨论了学习启发式方法带来的速度提升。

流程

论文中定义了选择矩阵索引为零化的过程为一个完全可观察的马尔可夫决策过程（MDP），并通过MCTS算法在自对弈中进行状态转移和奖励定义。对于循环Jacobi方法，定义了选择一组预定的循环顺序为半马尔可夫决策过程（SMDP），并构建了一个密集奖励环境。通过这些定义，论文展示了如何通过AlphaZero框架和GIN网络来加速和可视化Jacobi特征值算法的旋转启发式。

应用

本文提出的方法不仅在理论上改进了Jacobi对角化算法的效率，而且在实际应用中展示了其对大型矩阵的可扩展性和成本节约潜力。这些进展预示着在科学计算、工程设计和其他需要高效矩阵对角化技术的领域中，该方法具有广泛的应用前景。