摘要

本文针对非平稳时间序列预测中的分布偏移问题，提出了一种深度频率导数学习框架（DERITS）。传统方法通过调整统计量（如均值和标准差）来校正时间序列分布，但这些操作在理论上可视为频谱中零频率分量的变换，无法揭示完整的分布信息，导致归一化过程中的信息利用瓶颈，从而影响预测性能。DERITS通过利用整个频率谱来转换时间序列，从频率角度充分利用数据分布，提出了一种新颖的可逆变换——频率导数变换（FDT），使信号在频率域中获得更平稳的频率表示。此外，DERITS还引入了顺序自适应傅里叶卷积网络（OFCN）进行自适应频率滤波和学习，并通过并行堆叠架构进行多阶导数和融合，以实现预测。实验结果表明，DERITS在多个数据集上均显示出优于现有方法的预测性能和偏移缓解能力。

原理

DERITS的核心在于利用整个频率谱进行时间序列的转换，从而充分利用频率视角下的数据分布信息。具体来说，DERITS通过以下几个关键步骤实现非平稳时间序列的预测：

1. 频率导数变换（FDT）：首先将时间域中的原始信号通过快速傅里叶变换（FFT）转换到频率域，然后在频率域中对变换后的频率分量进行导数运算，以获得更平稳的频率表示。这一过程通过定义傅里叶导数算子（FDO）实现，该算子在频率域中对信号进行导数运算，等效于在时间域中对信号进行高阶导数运算，从而消除非平稳因素（如趋势偏移）。
2. 顺序自适应傅里叶卷积网络（OFCN）：在获得更平稳的频率表示后，DERITS引入OFCN进行频率依赖性学习。OFCN包括两个主要组件：顺序自适应频率滤波器和傅里叶卷积，前者通过排除高频噪声来提取有意义的模式，后者在频率域中进行依赖性映射和学习。
3. 并行堆叠架构：为了进行多阶导数学习，DERITS采用并行堆叠架构，每个分支代表一个导数阶次，并通过傅里叶卷积网络进行预测。最终，通过多层感知机（MLP）将不同阶次的表示进行融合，得到最终的预测结果。

流程

DERITS的工作流程可以概括为以下几个步骤：

1. 输入信号转换：将时间域中的输入信号通过快速傅里叶变换（FFT）转换到频率域。
2. 频率导数变换：在频率域中对变换后的信号进行导数运算，通过傅里叶导数算子（FDO）实现。
3. 顺序自适应傅里叶卷积：利用OFCN对导数变换后的信号进行频率依赖性学习，包括顺序自适应频率滤波和傅里叶卷积。
4. 逆频率导数变换：将学习后的频率域信号通过逆傅里叶变换转换回时间域。
5. 多阶表示融合：通过并行堆叠架构将不同阶次的表示进行融合，并通过多层感知机（MLP）得到最终的预测结果。

应用

DERITS框架在非平稳时间序列预测领域具有广泛的应用前景，特别是在需要处理复杂分布偏移和非平稳性的场景中，如交通流量分析、天气预测、金融市场估计和能源规划等。其通过频率视角充分利用数据分布信息的能力，使其在面对高度非平稳和分布偏移的时间序列数据时，能够提供更准确和稳定的预测性能。