摘要

本文介绍了一种名为Universal Mesh Movement Network (UM2N)的创新框架，该框架旨在解决复杂偏微分方程(PDEs)的精确高效求解问题。UM2N通过学习基于Monge-Ampère方程的最优传输方法，能够在不需要重新训练的情况下，对不同大小和结构的网格进行移动，适用于不同类型的PDE和边界几何形状。该方法在多个实际应用中展示了其优越性，包括对流和Navier-Stokes方程的求解，以及真实世界中的海啸模拟案例。UM2N不仅显著加速了网格移动过程，而且在传统方法失败的场景中证明了其有效性。

原理

UM2N的核心在于其两阶段深度学习模型，该模型学习如何根据Monge-Ampère方程的解来移动计算网格。模型由一个基于Graph Transformer (GT)的编码器和一个基于Graph Attention Network (GAT)的解码器组成。编码器负责提取特征，而解码器则负责移动网格。通过这种方式，UM2N能够在保持网格拓扑结构不变的同时，有效地调整网格节点位置，以适应不同PDE和复杂边界几何的需求。此外，UM2N采用了一种新颖的元素体积损失函数，该函数不仅提供了监督信号，还惩罚了负体积（即反转元素），从而减少了网格缠绕并增强了鲁棒性。

流程

UM2N的工作流程如下：首先，输入网格的顶点特征和边特征被分别收集。然后，顶点的坐标和监控函数值被输入到Graph Transformer中提取嵌入信息。接着，从Graph Transformer编码器获得的嵌入向量z与提取的边特征e结合，作为Graph Attention Network (GAT)解码器的输入。解码器处理这些组合输入以及网格查询，最终生成一个适应后的网格。整个过程无需重新训练，即可应用于不同大小和结构的网格，以及适用于不同PDE类型和边界几何的求解器。

应用

UM2N的应用前景广泛，特别是在需要高保真物理模拟的领域，如地球物理学、可再生能源、气候建模和空气动力学等。该方法能够提高天气或灾害预报的准确性，优化能源采集效率，加速飞机设计的快速原型制作等。随着进一步的研究和开发，UM2N有望成为解决复杂PDEs和提高计算效率的重要工具。